Question

【題目】如圖，幾何體EF﹣ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求證：AC⊥FB
（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四邊形CDEF為正方形．∴DC⊥FC

由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四邊形ABCD為直角梯形，

AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4

∴ ， ，則有AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC

由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB

（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直線相互垂直，

故以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，…（7分）

可得D（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），B（2，4，0），

E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

由（1）知平面FCB的法向量為 ，

∴ ，…（8分）

設平面EFB的法向量為 ，

則有：

令z=1則 ，…（10分）

設二面角E﹣FB﹣C的大小為θ，

，

∵ ，∴ ．…（12分）

【解析】（1）由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，從而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能證明AC⊥FB．（2）以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．