Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與，構(gòu)成面積為2的正方形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓在軸的右側(cè)交于點(diǎn)，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：根據(jù)正方形定義可得，再根據(jù)，求出，的值即可求出橢圓的方程；設(shè)，，直線：，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合求出，給出方程，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意求出直線方程

解析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，直線：，顯然，

由，得，

由韋達(dá)定理得，，

，

，

，

由，得，

即，得，即，

點(diǎn)，

所以線段的中垂線方程為，

令，可得，，

由，得，

將代入上式，得，整理為，解得，

所以，或，，

經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以直線的方程為或.