Question

【題目】若函數(shù)對定義城內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使得成立，則稱該函數(shù)為“函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”，求的取值范圍；

(3)已知函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”.若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由見解析；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）通過列舉的方式可判斷不是反函數(shù)；

（2）由函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”可得，，

可代換為，結(jié)合導數(shù)可求得范圍；

（3）由“函數(shù)”定義可先求證函數(shù)在上單調(diào)，且，求得參數(shù)，由對于任意實數(shù)恒成立整理得，變形成關(guān)于的二次不等式，再令進一步求得值即可

(1)不是為“函數(shù)”.

若，當或時，滿足，

此時不唯一，所以不是為“函數(shù)”.

(2)因為函數(shù)在為増函數(shù)，且在上為“函數(shù)”，

所以，即.

又因為，所以.

所以.

令，則，

因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，

所以，即.

(3)若圖像對稱軸，設(shè)，且，關(guān)于對稱，

此時，，由條件可知，存在，使，這與“函數(shù)”定義矛盾.

所以在上單調(diào)，且，

由，得，解得或.

檢驗：在上單調(diào)，所以.

不等式即，

整理得，由題意知，上式對任意恒成立.

得，

整理得，由題意知，存在使得上式成立，

所以或.

解得或.