【題目】設函數,函數為的導函數.
(1)若,都有成立(其中),求的值;
(2)證明:當時,;
(3)設當時,恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【解析】
(1)求導,利用對應項系數相等求即可即可
(2)證明等價證明,構造函數求最值即可證明
(3)討論,恒成立,轉化為證明,構造函數,求導求最值,證明當時不成立,當時,利用(2)放縮證明h(x)在區(qū)間上是單調遞減函數即可求解,當時,構造函數,證明不成立即可求解
(1),則
因為,即恒成立(其中),
則,,即,且
(2)當時,要證即證,
令,則,
當時,,即在區(qū)間上是單調遞增函數,
當時,,即在區(qū)間上是單調遞減函數,
則當時,,即當時,,也即,
所以當時,
(3)當,本題無意義,顯然不成立,
所以不合題意,
當時,等價于,
由題設,此時有,
當時,若,則有,此時不成立,
即不成立,所以不合題意,
當時,令,
則等價于,即當且僅當,
,
又由(1)得,即,代入上式得:
,
①當時,由(2)知,即,
則
,此時函數h(x)在區(qū)間上是單調遞減函數,
則,即恒成立,此時符合題意,
②當時,令,則,
又,則,即函數在區(qū)間上是單調遞增函數,
即,也即,
則
當時,有,即函數在區(qū)間上是單調遞增函數,
所以,即,所以不合題意,
綜上可得,所求實數a的取值范圍為
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若函數對定義城內的每一個值,在其定義域內都存在唯一的,使得成立,則稱該函數為“函數”.
(1)判斷函數是否為“函數”,并說明理由;
(2)若函數在定義域上為“函數”,求的取值范圍;
(3)已知函數在定義域上為“函數”.若存在實數,使得對任意的,不等式都成立,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】橢圓的右焦點為,且短軸長為,離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設點為橢圓與軸正半軸的交點,是否存在直線,使得交橢圓于兩點,且恰是的垂心?若存在,求的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某同學研究曲線的性質,得到如下結論:①的取值范圍是;②曲線是軸對稱圖形;③曲線上的點到坐標原點的距離的最小值為. 其中正確的結論序號為( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【題目】已知,如圖甲,正方形的邊長為4,,分別為,的中點,以為棱將正方形折成如圖乙所示,且,點在線段上且不與點,重合,直線與由,,三點所確定的平面相交,交點為.
(1)若,試確定點的位置,并證明直線平面;
(2)若,求點到平面的距離.
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