【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù),使得有兩個(gè)相異零點(diǎn)？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值.②當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值為,無(wú)極大值；(2)存在,

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的不同取值范圍,進(jìn)行分類討論,求出函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)的不同取值范圍,進(jìn)行分類討論,結(jié)合、函數(shù)的極值的大小、(1)中的結(jié)論,最后求出的取值范圍.

解：(1)因?yàn)?/span>,所以.

①當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

此時(shí)，函數(shù)無(wú)極值.

②當(dāng)時(shí),令，得,

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

此時(shí),函數(shù)有極小值為,無(wú)極大值.

(2)存在實(shí)數(shù),使得有兩個(gè)相異零點(diǎn).

由(1)知：①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

又,所以此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?/span>,則由（1）知；

取,令,

易得,所以在單調(diào)遞減,

所以,所以.

此時(shí),函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn).

所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí),,，

此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)時(shí),,因?yàn)?/span>,則由(1)知；

令函數(shù),易得,

所以,所以,即.

又,所以函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn),

所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明: ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)A(為坐標(biāo)原點(diǎn))的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：

①對(duì)于任意一個(gè)圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；

②函數(shù)可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

③正弦函數(shù)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形．

A.①④B.①③④C.②③D.①③

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中，兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的，我們稱為12的最佳分解．當(dāng)是正整數(shù)的最佳分解時(shí)，我們規(guī)定函數(shù)，例如.關(guān)于函數(shù)有下列敘述：①，②，③，④.其中正確的序號(hào)為 （填入所有正確的序號(hào)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E為CD的中點(diǎn)，

（1）證明:平面PBD平面ABCD；

（2）若，PC與平面ABCD所成的角為，試問(wèn)“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCD？”若存在，求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)對(duì)定義城內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使得成立，則稱該函數(shù)為“函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”，求的取值范圍；

(3)已知函數(shù)在定義域上為“函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形， ， ， ， ，側(cè)面底面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，且三棱錐的體積為，求側(cè)面的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某同學(xué)研究曲線的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：①的取值范圍是；②曲線是軸對(duì)稱圖形；③曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為. 其中正確的結(jié)論序號(hào)為（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案