Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M: 及其上一點(diǎn)A（2，4）

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA,求直線l的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)T（t,o）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直線與x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半徑;（2）根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程；（3）利用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長(zhǎng)范圍建立不等式，求解即得參數(shù)取值范圍.

試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，.

（1）由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)?/span>N與x軸相切，與圓M外切，

所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.

因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)橹本�l∥OA，所以直線l的斜率為.

設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，

則圓心M到直線l的距離

因?yàn)?/span>

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）設(shè)

因?yàn)?/span>，所以……①

因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以…….②

將①代入②，得.

于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，

從而圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，

所以解得.

因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.