Question

已知雙曲線x²-y²=1，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，則|PF₁|+|PF₂|的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線方程為x²-y²=1，可得焦距F₁F₂=2，因?yàn)镻F₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再結(jié)合雙曲線的定義，得到|PF₁|-|PF₂|=±2，最后聯(lián)解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，從而得到|PF₁|+|PF₂|的值為．
解答：解：∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．
∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得F₁F₂=2
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
又∵P為雙曲線x²-y²=1上一點(diǎn)，
∴|PF₁|-|PF₂|=±2a=±2，（|PF₁|-|PF₂|）²=4
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值為
故答案為：
點(diǎn)評：本題根據(jù)已知雙曲線上對兩個焦點(diǎn)的張角為直角的兩條焦半徑，求它們長度的和，著重考查了雙曲線的基本概念與簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．