Question

已知點(diǎn)P（1，2）是拋物線y²=2px上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為k，-

1

k

的直線l₁，l₂分別交拋物線于異于P的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（5，-2）．
（1）當(dāng)l₁，l₂的斜率分別為2與-

1

2

時(shí)，判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q；
（2）當(dāng)△PAB的面積等于32

2

時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）求出拋物線方程，利用當(dāng)l₁，l₂的斜率分別為2與-

1

2

時(shí)，求出直線的方程，通過(guò)直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出AB坐標(biāo)，得到AB的方程，即可判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q；
（2）利用直線PA的斜率不為0，寫出直線方程與拋物線聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)同理得到B的坐標(biāo)，求出AB的斜率，設(shè)出AB的方程，求出AB的距離，P到AB的距離，利用三角形的面積公式等于△PAB的面積等于32

2

，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（1）點(diǎn)P（1，2）是拋物線y²=2px上一點(diǎn)，代入可得p=2，
即拋物線y²=4x．

y=2x y2=4x

⇒A（0，0），

y=- 1 2 x+ 5 2 y2=4x

⇒B（25，-10）．
AB：y=-

2

5

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q．
（2）顯然k≠0.

y-2=k(x-1) y2=4x

⇒y2-

4

k

y+

8

k

-4=0
∴A(

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2)．
同理，

y-2=- 1 k (x-1) y2=4x

⇒y²+4ky-8k-4=0
∴B（4k²+4k+1，-4k-2）
∴kAB=-

1

k2+k+1

=kAQ

，

直線A經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，
當(dāng)k=

-1± 5

2

時(shí)，結(jié)論成立，
又由△＞0得k≠±1．
設(shè)直線AB：m（y+2）x-5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=m(y+2)+5 y2=4x

⇒y²-4my-8m-20=0，△＞0恒成立，
得

y1y2=-8m-20 y1+y2=4m

，
由△PAB的面積等于32

2

，
得

1

2

•

|4+4m|

1+m2

•

1+m2

16m2+32m+80

=32

2

∴|1+m|

m2+2m+5

=4

2

，
解得（m+1）²=4由m=1⇒k=0或k=-1舍去，
∴m=-3
∴直線AB的方程為：x+3y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與拋物線方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)后得到的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，直線方程的設(shè)法是解題的關(guān)鍵．