Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，1）．
（1）若橢圓的離心率為

2

2

，求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿足OP⊥OQ．
①已知命題：“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題，試直接寫出圓C的方程；（不需要解答過程）
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²-m的圖象過點(diǎn)M．點(diǎn)A，B在該圖象上，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，求△MAB的面積S的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由e=

2

2

，得出a、b、c的關(guān)系，設(shè)出橢圓方程，把（1，1）代入方程，求出b²、a²即可；
（2）①由OP⊥OQ，且直線PQ恒與定圓C相切，得出圓C的方程為x²+y²=1；
②由題意知，二次函數(shù)y=x²-1，設(shè)直線AB的方程y=kx，由

y=x2-1 y=kx

，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系，求出x₁+x₂，x₁x₂；計(jì)算△MAB的面積S的最小值即可．

解答： 解：（1）由e=

2

2

，
則a：b：c=

2

：1：1；
∴可設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，將（1，1）代入得

1

2b2

+

1

b2

=1，
∴b²=

3

2

，a²=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+

2y2

3

=1；
（2）①根據(jù)題意，用特殊值來驗(yàn)證，如圖所示；

∵橢圓過點(diǎn)（1，1），
∴

1

a2

+

1

b2

=1，
即a²+b²=a²b²；
又OP⊥OQ，
∴|PQ|=

a2+b2

；
∴點(diǎn)O到直線PQ的距離|OM|=

ab

a2+b2

=1；
∴根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得出圓C的方程是x²+y²=1；
②由題意，二次函數(shù)為y=x²-1，
設(shè)直線AB的方程為y=kx，
由

y=x2-1 y=kx

，消去y得，x²-kx-1=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
則S=

1

2

OM•|x₁-x₂|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

k2+4

；
當(dāng)k=0時(shí)，△MAB的面積S的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，應(yīng)用待定系數(shù)法求出圓錐曲線的方程，應(yīng)用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，求直線被圓錐曲線所截得的弦長(zhǎng)的問題，是較難的題目．