Question

【題目】已知函數，直線l：．

求的單調增區(qū)間；

求證：對于任意，直線l都不是線的切線；

試確定曲線與直線l的交點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調增區(qū)間為，；（2）見證明；（3）見解析

【解析】

求出函數定義域，求導，令，即可求得函數的單調增區(qū)間；

假設存在某個，使得直線l與曲線相切，設切點為，求出切線滿足斜率，推出，此方程顯然無解，假設不成立推出直線l都不是曲線的切線；

“曲線與直線l的交點個數”等價于“方程的根的個數”，令，則，其中，且函數，其中，求出導數，判斷函數的單調性，然后推出曲線與直線l交點個數．

，解：函數定義域為，

，

由，解得或．

函數的單調增區(qū)間為，；

證明：假設存在某個，使得直線l與曲線相切，

設切點為，

又，

切線滿足斜率，且過點A，

，

即，此方程顯然無解，

假設不成立．

故對于任意，直線l都不是曲線的切線；

解：“曲線與直線l的交點個數”等價于“方程的根的個數”．

由方程，得．

令，則，其中，且．

考察函數，其中，

，

函數在R單調遞增，且．

而方程中，，且．

當時，方程無根；當時，方程有且僅有一根，

故當時，曲線與直線l沒有交點，

而當時，曲線與直線l有且僅有一個交點．