Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F(xiàn)，G，H分別為PC、PD、BC、PA的中點(diǎn)．
求證：（1）PA∥平面EFG；
（2）DH⊥平面EFG．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵E、G分別是PC、BC的中點(diǎn)，
∴EG是△PBC的中位線(xiàn)，
∴EG∥PB，
又∵PB平面PAB，EG平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，
又∵AB平面PAB，EF平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB，
∵PA平面PAB，
∴PA∥平面EFG．
（2）∵PD⊥AD，PD=AD，H為的中點(diǎn)，
∴DH⊥PA，
∵BA⊥平面PDA，DH平面PDA，
∴DH⊥AB，
∴DH⊥平面PAB，
∴DH⊥PB，
由（1）EF∥AB，EG∥PB，
∴DH⊥EG，DH⊥EF，
∴DH⊥平面EFG．

【解析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)推出線(xiàn)面平行；
（2）由題意可證DH⊥PA，DH⊥AB，可證DH⊥平面PAB，從而證明DH⊥PB，由（1）EF∥AB，EG∥PB，從而證明DH⊥EG，DH⊥EF，即可證明DH⊥平面EFG．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線(xiàn)與平面平行的判定(平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行)，還要掌握直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．