【題目】設(shè)函數(shù)(),,
(Ⅰ) 試求曲線在點處的切線l與曲線的公共點個數(shù);(Ⅱ) 若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.
(附:當(dāng),x趨近于0時, 趨向于)
【答案】(1)兩個公共點;(2).
【解析】試題分析:(1)計算出及,根據(jù)點斜式可得切線方程,將切線方程與聯(lián)立可得方程,設(shè),對其求導(dǎo),可得其在內(nèi)的單調(diào)性,結(jié)合, ,可得零點個數(shù);(2)題意等價于在至少有兩不同根,當(dāng)時, 是的根,根據(jù)圖象的交點可知有一個零點,除去同根;當(dāng)顯然不合題意;當(dāng)時,題意等價于在至少有兩不同根,對其求導(dǎo)判斷單調(diào)性,考慮極值與兩端的極限值可得結(jié)果.
試題解析:(1)∵, ,
切線的斜率為,
∴切線的方程為,即,
聯(lián)立,得;
設(shè),則,
由及,得或,
∴在和上單調(diào)遞增,可知在上單調(diào)遞減,
又, ,所以, ,
∴方程有兩個根:1和,從而切線與曲線有兩個公共點.
(2)由題意知在至少有兩不同根,
設(shè),
①當(dāng)時, 是的根,
由與()恰有一個公共點,可知恰有一根,
由得,不合題意,
∴當(dāng)且時,檢驗可知和是的兩個極值點;
②當(dāng)時, 在僅一根,所以不合題意;--9分
③當(dāng)時,需在至少有兩不同根,
由,得,所以在上單調(diào)遞增,
可知在上單調(diào)遞減,
因為, 趨近于0時, 趨向于,且時, ,
由題意知,需,即,解得,
∴.
綜上知, .
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB,E,F(xiàn),G,H分別為PC、PD、BC、PA的中點.
求證:(1)PA∥平面EFG;
(2)DH⊥平面EFG.
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【題目】某醫(yī)學(xué)院欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,該協(xié)會分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1到6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到數(shù)據(jù)資料見下表:
該院確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩個月的概率;
(Ⅱ)已知選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù).
(1)請根據(jù)2到5月份的數(shù)據(jù),求出就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該協(xié)會所得線性回歸方程是否理想?
(參考公式和數(shù)據(jù):
)
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【題目】某車間計劃每天生產(chǎn)卡車模型、賽車模型、小汽車模型這三種玩具共100個,已知生產(chǎn)一個卡車模型需5分鐘,生產(chǎn)一個賽車模型需7分鐘,生產(chǎn)一個小汽車模型需4分鐘,且生產(chǎn)一個卡車模型可獲利潤8元,生產(chǎn)一個賽車模型可獲利潤9元,生產(chǎn)一個小汽車模型可獲利潤6元.若總生產(chǎn)時間不超過10小時,該公司合理分配生產(chǎn)任務(wù)使每天的利潤最大,則最大利潤是______________元.
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【題目】已知圓C經(jīng)過點,且圓心在直線上,又直線與圓C交于P,Q兩點.
(1)求圓C的方程;
(2)若,求實數(shù)的值;
(3)過點作直線,且交圓C于M,N兩點,求四邊形的面積的最大值.
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【題目】三棱錐的三組相對棱(相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱)分別相等,且長分別為,其中,則該三棱錐體積的最大值為
A. B. C. D.
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【題目】已知直線與拋物線相切,且與軸的交點為,點.若動點與兩定點所構(gòu)成三角形的周長為6.
(Ⅰ) 求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點,當(dāng),且位于直線的兩側(cè)時,證明: .
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【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為8cm,M,N,P分別是AB,A1D1 , BB1的中點.
(1)畫出過M,N,P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線以及與平面BB1C1C的交線;
(2)設(shè)過M,N,P三點的平面與B1C1交于Q,求PQ的長.
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【題目】某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈,第一年需要各種費用12萬元.從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元.該船每年捕撈總收入50萬元.
(1)問捕撈幾年后總盈利最大,最大是多少?
(2)問捕撈幾年后的平均利潤最大,最大是多少?
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