Question

下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調(diào)遞增函數(shù)是（　�。�

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=3^x
• C、f（x）=x 

  1

  2

• D、f（x）=（

  1

  2

  ）^x

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)選項(xiàng)一一加以判斷，先判斷是否滿足f（x+y）=f（x）f（y），然后考慮函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．

解答： 解：A．f（x）=x³，f（y）=y³，f（x+y）=（x+y）³，不滿足f（x+y）=f（x）f（y），故A錯(cuò)；
B．f（x）=3^x，f（y）=3^y，f（x+y）=3^x+y，滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，故B正確；
C．f（x）=x

1

2

，f（y）=y

1

2

，f（x+y）=(x+y)

1

2

，不滿足f（x+y）=f（x）f（y），故C錯(cuò)；
D．f（x）=(

1

2

)x，f（y）=(

1

2

)y，f（x+y）=(

1

2

)x+y，滿足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，故D錯(cuò)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的具體模型，同時(shí)考查冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．