Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n-1，其中λ為常數(shù)．
（Ⅰ）證明：a_n+2-a_n=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a_n}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_na_n+1=λS_n-1，a_n+1a_n+2=λS_n+1-1，相減即可得出；
（Ⅱ）對(duì)λ分類討論：λ=0直接驗(yàn)證即可；λ≠0，假設(shè)存在λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．可得λ=a_n+2-a_n=（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=2d，d=

λ

2

．得到λS_n=

λ2

4

n2+(λ-

λ2

4

)n+2-

λ

2

，根據(jù){a_n}為等差數(shù)列的充要條件是

λ≠0 2- λ 2 =0

，解得λ即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_na_n+1=λS_n-1，a_n+1a_n+2=λS_n+1-1，
∴a_n+1（a_n+2-a_n）=λa_n+1
∵a_n+1≠0，
∴a_n+2-a_n=λ．
（Ⅱ）解：①當(dāng)λ=0時(shí)，a_na_n+1=-1，假設(shè){a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
則a_n+2-a_n=0，∴2d=0，解得d=0，
∴a_n=a_n+1=1，
∴1²=-1，矛盾，因此λ=0時(shí){a_n}不為等差數(shù)列．
②當(dāng)λ≠0時(shí)，假設(shè)存在λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
則λ=a_n+2-a_n=（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=2d，
∴d=

λ

2

．
∴an=1+

λ(n-1)

2

，an+1=1+

λn

2

，
∴λS_n=1+[1+

λ(n-1)

2

] [1+

λn

2

]=

λ2

4

n2+(λ-

λ2

4

)n+2-

λ

2

，
根據(jù){a_n}為等差數(shù)列的充要條件是

λ≠0 2- λ 2 =0

，解得λ=4．
此時(shí)可得Sn=n2，a_n=2n-1．
因此存在λ=4，使得{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．