Question

若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：
（i）直線l在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．
下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①直線l：y=0在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³
②直線l：x=-1在點P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）²
③直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx
④直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx
⑤直線l：y=x-1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,曲線與方程

專題：簡易邏輯

分析：分別求出每一個命題中曲線C的導數，得到曲線在點P出的導數值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側的函數值與對應直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項可求．

解答： 解：對于①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當x＞0時y＞0，當x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側，
∴命題①正確；
對于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點P（-1，0）處不與曲線C相切，
∴命題②錯誤；
對于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈(-

π

2

，0)時x＜sinx，x∈(0，

π

2

)時x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側，
∴命題③正確；
對于④，由y=tanx，得y′=

1

cos2x

，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈(-

π

2

，0)時tanx＜x，x∈(0，

π

2

)時tanx＞x，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側，
∴命題④正確；
對于⑤，由y=lnx，得y′=

1

x

，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
設g（x）=x-1-lnx，得g′(x)=1-

1

x

，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側，
命題⑤錯誤．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用導數求函數的最值，判斷③④時應熟記當x∈(0，

π

2

)時，tanx＞x＞sinx，該題是中檔題．