Question

已知直線l過點（0，4），取直線l上的一點P作圓C：x²+y²-2y=0的切線PA、PB（A、B為切點），若四邊形PACB的面積的最小值為2，則直線l的斜率k為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后利用點到直線的距離求出直線的斜率即可．．

解答： 解：∵圓的方程為：x²+（y-1）²=1，
∴圓心C（0，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線l的距離最小時，
切線長PA，PB最�。�切線長為2，
∴PA=PB═2，
∴圓心到直線l的距離為d=

5

．直線方程為y-4=kx，即kx-y+4=0，
∴

5

=

|4-1|

1+k2

，解得k=±

2 5

5

，
所求直線的斜率為：±

2 5

5

．
故答案為：±

2 5

5

．

點評：本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．