Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x²+y²=16的切線與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為16．

Answer 1

分析 用截距式設(shè)出切線方程，由圓心到直線的距離等于半徑以及基本不等式可得ab=4$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），令t=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，可得t的最小值為8，進(jìn)而得到答案．

解答 解：設(shè)切線方程為bx+ay-ab=0（a＞0，b＞0），
由圓心到直線的距離等于半徑得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=4，
所以ab=4$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），令t=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
則有t²-8t≥0，t≥8，故t的最小值為8．
∴t=|AB|的最小值為8，
∴△AOB面積的最小值為$\frac{1}{2}×4×8$=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了換元的思想（在換元時(shí)應(yīng)該注意等價(jià)換元）．