Question

16．已知拋物線y²=4x，作斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，弦AB的中點(diǎn)為P
（1）若M（2，0），求以線段AB為直徑的圓的方程；
（2）設(shè)M（m，0），若點(diǎn)P滿足$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{BM}|}}=\frac{1}{{|{PM}|}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的方程，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求出AB的距離，然后求解圓的方程．
（2）求出直線方程，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組，通過$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}=\frac{1}{|PM|}$，轉(zhuǎn)化為：$\frac{1}{|{y}_{1}|}+\frac{1}{|{y}_{2}|}=\frac{1}{|{y}_{P}|}$得到m，即可．

解答 解：（1）直線方程為：y=x-2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒{y^2}-4y-8=0⇒{y_1}+{y_2}=4$，
所以中點(diǎn)為$（4，2），|{AB}|=\sqrt{2}•\sqrt{16+32}=4\sqrt{6}$
所以圓的方程：（x-4）²+（y-2）²=24．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程為：y=x-m，
$\left\{\begin{array}{l}y=x-m\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒{y^2}-4y-4m=0⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}{y_2}=-4m\\△=16+16m＞0⇒m＞-1\\{y_1}+{y_2}=4\end{array}\right.$，
$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|BM|}=\frac{1}{|PM|}$，可得$\frac{1}{|{y}_{1}|}+\frac{1}{|{y}_{2}|}=\frac{1}{|{y}_{P}|}$，
所以$\frac{1}{{|{y_1}|}}+\frac{1}{{|{y_2}|}}=\frac{1}{{|{y_P}|}}=\frac{{|{{y_1}-{y_2}}|}}{{|{{y_1}{y_2}}|}}=\frac{{\sqrt{16+16m}}}{{|{4m}|}}=\frac{1}{2}$，
解得：$m=2±2\sqrt{2}$，

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．