Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{|x+1|-|x-1|}{2}$，函數(shù)g（x）=ax²-2x+1．若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 化函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有2個(gè)不同零點(diǎn)為函數(shù)f（x）+2x-1與函數(shù)y=ax²的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而解得．

解答 解：∵f（x）-（ax²-2x+1）=0，
∴f（x）+2x-1=ax²，
而f（x）+2x-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＜-1}\\{3x-1，-1≤x≤1}\\{2x，x＞1}\end{array}\right.$，
作函數(shù)y=f（x）+2x-1與函數(shù)y=ax²的圖象如下，

①當(dāng)a＜0時(shí)，恒有兩個(gè)焦點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，不滿足題意；
③當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)有y=ax²與y=3x-1相切，此時(shí)a為臨界值，聯(lián)立得到：
ax²-3x+1=0，△=9-4a=0，a=$\frac{9}{4}$，此時(shí)圖象如下圖

所以0＜a＜$\frac{9}{4}$；
綜上a的取值范圍是：（-∞，0）∪（0，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用．