Question

已知f（x）=x²，-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n≤1，a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|，n∈N^*，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則S_n的最大值等于

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，討論x_k的值，去掉絕對(duì)值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)x_k=0，
則當(dāng)-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_k，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，此時(shí)a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=-f（x_n）+f（x_n-1），
則a₁+a₂+a₃+…+axk=f（x₀）-f（x_k）≤1，
當(dāng)x_k＜x_k+1＜x_k+2＜…＜x_n≤1此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=f（x_n）-f（x_n-1），
則a_k+a_k+1+…+a_n=f（x_n）-f（x_k）≤1，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1=2，
故S_n的最大值等于2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．