Question

已知共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的橢圓與雙曲線，它們的一個(gè)公共點(diǎn)是P，若

F1P

•

F2P

=0，橢圓的離心率e₁與雙曲線的離心率e₂的關(guān)系式為（　�。�

• A、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• B、

  1

  e12

  -

  1

  e22

  =2
• C、e₁²+e₂²=2
• D、e₂²-e₁²=2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓與雙曲線的方程分別為：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1，

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．利用橢圓和雙曲線的定義可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂．兩邊平方可得4

a

2 1

+4

a

2 2

=（m+n）²+（m-n）²=2（m²+n²），由

F1P

•

F2P

=0，可得F₁P⊥F₂P．再利用勾股定理可得m²+n²=（2c）²=4c²，再利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)橢圓與雙曲線的方程分別為：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1，

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1．
其中a₁＞b₁＞0，a₂＞0，b₂＞0，

a

2 1

-

b

2 1

=c2=

a

2 2

+

b

2 2

．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴4

a

2 1

+4

a

2 2

=（m+n）²+（m-n）²=2（m²+n²），
∵

F1P

•

F2P

=0，∴F₁P⊥F₂P．
∴m²+n²=（2c）²=4c²，
∴4

a

2 1

+4

a

2 2

=2×4c2，
∴

a

2 1

+

a

2 2

=2c2．
∴

1

c2 a 2 1

+

1

c2 a 2 2

=

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．