Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，解得函數(shù)在點處切線的斜率，根據(jù)點斜式即可求得切線方程；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解其值域，再根據(jù)與之間的關(guān)系，求解恒成立問題即可得參數(shù)的范圍.

（1）當時，，故；

故可得，

故切線方程為：，整理得.

故曲線在點處的切線方程為.

（2）因為，故可得.

若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，或恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，故可得，

令，解得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

故，且當趨近于0時，趨近于.

故.

若要保證在定義域內(nèi)恒成立，即恒成立，

即在定義域內(nèi)恒成立，則只需；

若要保證在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，

則在定義域內(nèi)恒成立，但沒有最小值，故舍去.

綜上所述，要保證在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，

則.