【題目】設(shè)動圓經(jīng)過點,且與圓為圓心)相內(nèi)切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過的直線與軌跡交于、兩點,且滿足的點也在軌跡上,求四邊形的面積.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)因為圓的圓心,半徑為,由圓與圓相內(nèi)切,利用橢圓的定義可知,動圓圓心的軌跡是以,為焦點且長軸長為的橢圓即可求解;
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,一定存在),代入,并整理得,利用韋達(dá)定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合已知條件即可求解.
(Ⅰ)由已知可得,圓的圓心,半徑為,
由圓與圓相內(nèi)切,得,
由橢圓定義可知,動圓圓心的軌跡是以,為焦點
且長軸長為的橢圓,其方程為.
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,一定存在),
代入,并整理得,
所以判別式△恒成立,
設(shè),,,,
由韋達(dá)定理可得,,,
設(shè),,則
由,得,
即,即,
又點在軌跡上,故,
即,解得,(舍負(fù)),
因為,所以四邊形為平行四邊形,
所以平行四邊形的面積為
,
即,因為,
所以四邊形的面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸為軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,若,分別是曲線和曲線上的動點,求的最小值.
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【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,試討論關(guān)于的方程 的解的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三名乒乓球手進(jìn)行單打?qū)贡荣,每兩人比賽一場,共賽三場,每場比賽勝者?/span>3分,負(fù)者得0分,在每一場比賽中,甲勝乙的概率為,丙勝甲的概率為,乙勝丙的概率為,且各場比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.
(1)求的值;
(2)設(shè)在該次對抗比賽中,丙得分為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上、下頂點分別為和,且其離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點是直線上的一個動點,直線分別交橢圓于兩點(四點互不重合),請判斷直線是否恒過定點.若過定點,求出定點的坐標(biāo);否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-5,求的值;
(Ⅱ)設(shè),且有兩個極值點,.
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)證明:.
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