【題目】已知過橢圓的四個頂點與坐標軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內(nèi)的點）的面積為，且過橢圓的右焦點的傾斜角為的直線過點．

（1）求橢圓的標準方程

（2）若射線與橢圓的交點分別為．當它們的斜率之積為時，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

【答案】（1）；（2）的面積為定值．

【解析】

（1）根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關系可構(gòu)造方程組求得，進而得到橢圓標準方程；

（2）當直線斜率存在時，設方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得，點到直線公式求得點到直線距離，進而表示出；根據(jù)，代入韋達定理形式化簡可得，代入中化簡得到；當直線斜率不存在時，可求得兩點坐標，進而求得；綜合兩種情況可知為定值.

（1）由題意得：，，，.

直線的斜率，，

由得：，橢圓的標準方程為.

（2）的面積為定值，理由如下：

設，，

①當直線斜率存在時，設方程為.

由得：，

則，即，

，，

，

又點到直線的距離，

.

，，

化簡可得：，滿足，

；

②當直線斜率不存在時，

且，可設，，

則點的坐標分別為，，

此時；

綜上所述：的面積為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知一動圓P與定圓外切，且與直線相切，記動點P的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）過點作直線l與曲線E交于不同的兩點B、C，設BC中點為Q，問：曲線E上是否存在一點A，使得恒成立？如果存在，求出點A的坐標；如果不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三名乒乓球手進行單打?qū)贡荣�，每兩人比賽一場，共賽三場，每場比賽勝者�?/span>3分，負者得0分，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，丙勝甲的概率為，乙勝丙的概率為，且各場比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.

（1）求的值；

（2）設在該次對抗比賽中，丙得分為，求的分布列、數(shù)學期望和方差.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1，公比q>0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列.

（1）求{an}；

（2）設bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上、下頂點分別為和，且其離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點是直線上的一個動點，直線分別交橢圓于兩點（四點互不重合），請判斷直線是否恒過定點.若過定點，求出定點的坐標；否則，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且、）.設關于的不等式的解集為，且方程的兩實根為、.

（1）若，完成下列問題：

①求、的關系式；

②若、都是負整數(shù)，求的解析式；

（2）若，求證: .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字，，，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）求證：平面DEF；

（3）求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案