Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求的最大值；

（2）若對(duì)，總存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的最大值；

（2）由題意可知，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即；

（2）由題意可知，即.

，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

，解得，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

，解得，此時(shí)；

③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，.

當(dāng)時(shí)，，解得；

當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.