【題目】設(shè)等差數(shù)列的首項為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;
記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).
記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.
(1)設(shè),,請計算,,;
(2)設(shè),,試求,的表達(dá)式(用i,j表示),并證明:對于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;
(3)設(shè),,對于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.
【答案】(1)(2)詳見解析(3)29
【解析】
(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.
(2)可求,,通過反證法證明,
(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.
(1)由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;
等差數(shù)列的通項公式為:,
得,
則,,
得,
故.
(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;
等差數(shù)列的通項公式為:,
得,,.
得,,,.
所以若,則存在,,使,
若,則存在,,,使,
因此,對于正整數(shù),考慮集合,,,
即,,,,,,.
下面證明:集合中至少有一元素是7的倍數(shù).
反證法:假設(shè)集合中任何一個元素,都不是7的倍數(shù),則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,
又因為集合中共有7個元素,所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同,
不妨設(shè)為,,其中,,.則這兩個元素的差為7的倍數(shù),即,
所以,與矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.
即集合中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為,,,
則存在,使,,,即,,,
由已證可知,若,則存在,,使,而,所以為負(fù)整數(shù),
設(shè),則,且,,,,
所以,當(dāng),時,對于整數(shù),若,則成立.
(3)下面用反證法證明:若對于整數(shù),,則,假設(shè)命題不成立,即,且.
則對于整數(shù),存在,,,,,使成立,
整理,得,
又因為,,
所以且是7的倍數(shù),
因為,,所以,所以矛盾,即假設(shè)不成立.
所以對于整數(shù),若,則,
又由第二問,對于整數(shù),則,
所以的最大值,就是集合中元素的最大值,
又因為,,,,
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;
(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.
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【題目】如圖,在正方體ABCD中,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,E為B的中點,F(xiàn)為的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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【題目】設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范圍.
【答案】
【解析】
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由條件f(m)<0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立,利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得:f(﹣2)<0,f(2)<0.解出即可.
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由條件f(m)<0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立,
則需要f(﹣2)<0,f(2)<0.
解不等式組,解得,
∴x的取值范圍是.
【點睛】
本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】某廠有一批長為18m的條形鋼板,可以割成1.8m和1.5m長的零件.它們的加工費分別為每個1元和0.6元.售價分別為20元和15元,總加工費要求不超過8元.問如何下料能獲得最大利潤.
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【題目】某校從高三年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,其成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(2)按分層抽樣從成績是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選取6人,再從這6人中選取兩人作為代表參加交流活動,求他們在不同分?jǐn)?shù)段的概率.
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【題目】(1)3個不同的球放入5個不同的盒子,每個盒子至多放1個球,共有多少種放法?
(2)3個不同的球放入5個不同的盒子,每個盒子放球量不限,共有多少種放法?
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)減區(qū)間;
(2)當(dāng)在區(qū)間上變化時,求的極小值的最大值.
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【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)記,求函數(shù)在上的最小值;
(3)若對任意的,恒有,求的取值范圍.
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