Question

【題目】如圖，為橢圓的下頂點(diǎn).過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值；

（2）過點(diǎn)作與直線傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).求的值，使得的面積最大.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可求，設(shè)，利用是的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得的關(guān)系，再代入點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得出結(jié)果；

（2）由題意可得，進(jìn)而可以表示出直線的斜率和直線斜率，則可求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出的長(zhǎng)和點(diǎn)到的距離，

從而可以求出，變形，利用基本不等式求其最值，通過等號(hào)的成立條件可求出的值.

（1）易知，不妨設(shè)，則，代入拋物線方程得：

，得：，∴為定值.

（2）∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，

∵直線的斜率，直線斜率，

∴直線的方程：，即，不妨記，則：，

代入橢圓方程整理得：，設(shè)，，則

，，

，

到的距離，

所以.

取等號(hào)時(shí)，，得，

所以，.