在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且1+
tanA
tanB
=
2c
b
．
（1）求角A；
（2）若a=
3
，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosA的值，可得A的值．
（2）由條件利用余弦定理求得bc≤3，再根據(jù)據(jù)△ABC面積為
1
2
bc•sinA，從而求得它的最大值．
解答： 解：（1）△ABC中，∵1+
tanA
tanB
=
2c
b
，∴1+
sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，
即
sinBcosA+sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，∴
sin(A+B)
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，整理得cosA=
1
2
．
∵0＜A＜π，∴A=
π
3
．
（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
3
，∴(
3
)2=b2+c2-2bc×
1
2
=b2+c2-bc．
即 3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
當(dāng)且僅當(dāng) b=c=
3
時(shí)，bc取得最大值3，再根據(jù)△ABC面積為
1
2
bc•sinA≤
1
2
×3×
3
2
=
3
3
4
．
∴△ABC面積的最大值為
3
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若tanα=3，則cos2α等于（　�。�
A、
3
5
B、-
3
5
C、
4
5
D、-
4
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線交橢圓C：x2+3y2=6于A，B兩點(diǎn)．
（1）求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若F為橢圓C的左焦點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于C點(diǎn)，且OC=3OA．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）是直線BC上方的拋物線一點(diǎn)，過(guò)P作PN∥OC交BC于N，設(shè)PN=h，求h關(guān)于m的函數(shù)解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=
1
6
x3+
1
2
（a-2）x2+b，g（x）=2alnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處的切線互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）-g（x），若對(duì)任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有F（x2）-F（x1）＞a（x2-x1），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=
5
，b=3，
5
sinC=2sinA，求sin（A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|1-x|-|2+x|．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）|2t-1|≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的外接球的表面積是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=1，則
1
a+b
+
9(a+b)
b+c
的最小值是
 
．

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