Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于C點，且OC=3OA．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）若點P（m，n）是直線BC上方的拋物線一點，過P作PN∥OC交BC于N，設PN=h，求h關于m的函數解析式．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意求出點C的坐標，列出方程，解得a，b的值，繼而求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）的結論需要分類討論，求出h關于m的函數解析式．

解答： 解：（1）∵A（-1，0）
∴OA=1，
又C點在y軸上，且OC=3OA．
∴c=±3
∴點C的坐標是（0，3）或（0，-3）
∵y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

或

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得：

a=-1 b=2

，或

a=1 b=-2

∴y=-x²+2x+3或y=x²-2x-3
（2）當拋物線為y=-x²+2x+3時，直線BC為y=-x+3，
∵過P作PN∥OC交BC于N，點P（m，n）是直線BC上方的拋物線一點
設N點坐標為（m，t），（0＜m＜3）
∴PN=h=n-t=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，（0＜m＜3）
當拋物線為y=x²-2x-3時，直線BC為y=x-3，
∵過P作PN∥OC交BC于N，點P（m，n）是直線BC上方的拋物線一點
設N點坐標為（m，t），（m＜0或m＞3）
∴PN=h=n-t=m²-2m-3-（m-3）=m²-3m，（m＜0或m＞3）．
∴h=

m2-3m，(m＜0，或m＞3) -m2+3m，(0＜m＜3)

點評：本題主要考查了函數的解析式的求法，注意自變量的取值范圍．