Question

已知函數(shù)f（x）=|1-x|-|2+x|．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）|2t-1|≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式f（x）=||1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3即可求得f（x）的最大值；
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）⇒|2t-1|≥f_max（x）=3，解此不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3…（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)x≤-2時(shí)等號(hào)成立，
∴f_max（x）=3…（3分）
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）恒成立得|2t-1|≥f_max（x）…（4分）
即|2t-1|≥3，2t-1≥3或2t-1≤-3…（5分）
解得：t≥2或 t≤-1…（6分）
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-1]∪[2，+∞）…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查絕對(duì)值不等式|a|-|b|≤|a+b|的應(yīng)用，考查恒成立問題，屬于中檔題．