Question

已知函數(shù)f（x）=|1-x|-|2+x|．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）|2t-1|≥f（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）利用絕對值不等式f（x）=||1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3即可求得f（x）的最大值；
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）⇒|2t-1|≥f_max（x）=3，解此不等式即可求得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3…（2分）
當且僅當x≤-2時等號成立，
∴f_max（x）=3…（3分）
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）恒成立得|2t-1|≥f_max（x）…（4分）
即|2t-1|≥3，2t-1≥3或2t-1≤-3…（5分）
解得：t≥2或 t≤-1…（6分）
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-1]∪[2，+∞）…（7分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查絕對值不等式|a|-|b|≤|a+b|的應用，考查恒成立問題，屬于中檔題．