Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b，g（x）=2alnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處的切線互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）-g（x），若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出曲線y=f（x）和y=g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）求出F（x）表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2

x2+(a-2)x，f′(1)=a-

3

2

．g′(x)=

2a

x

，g'（1）=2a．
依題意有f'（1）g'（1）=-1，
可得2a(a-

3

2

)=-1，解得a=1，或a=

1

2

．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

6

x³-

1

2

x²+b，g（x）=2lnx．
由

f(1)= 1 6 - 1 2 +b=c g(1)=2ln1=0=c

，解得c=0．b=

1

3

，
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

6

x³-

3

4

x²+b，g（x）=lnx．
由

f(1)= 1 6 - 3 4 +b=c g(1)=ln1=0=c

，解得c=0．b=

7

12

．
（Ⅱ）F(x)=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx．
不妨設(shè)x₁＜x₂，
則

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a等價(jià)于F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），
即F（x₂）-ax₂＞F（x₁）-ax₁．
設(shè)G（x）=F（x）-ax，
則對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a，
等價(jià)于G（x）=F（x）-ax在（0，+∞）是增函數(shù)．G(x)=

1

2

x2-2alnx-2x，
可得G′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

，
依題意有，對(duì)任意x＞0，有x²-2x-2a≥0．
由2a≤x²-2x=（x-1）²-1，可得a≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．