【題目】設橢圓的左、右焦點分別為,左項點為上頂點為.已知.

1)求橢圓的離心率;

2)設為橢圓上在第一象限內(nèi)一點,射線與橢圓的另一個公共點為,滿足,直線軸于點,的面積為.

(i)求橢圓的方程.

(ii)過點作不與軸垂直的直線交橢圓(異于點)兩點,試判斷的大小是否為定值,并說明理由.

【答案】1;(2)(i) (ii) 是定值,證明見解析.

【解析】

1)根據(jù),得到,之間的關系,從而得到離心率;(2)(i)設橢圓方程為,根據(jù),得到,代入橢圓方程得,從而得到直線的方程和點坐標,表示出的面積,解出,得到橢圓方程;(ii) 設直線的方程為: ,與橢圓聯(lián)立得到,對進行計算化簡,從而得到,是定值.

1,,則

因為,

所以

解得,

所以.

2)(i)由(1,即,

設橢圓的標準方程為.

由題意設,所以,

,易知

所以,得

代入橢圓方程得,

所以

所以,直線,

所以

所以,

解得

所以橢圓的方程為

(ii)顯然點在橢圓內(nèi)部,直線的斜率存在且不為.

設直線的方程為:

聯(lián)立方程,化簡得,

,

,則,

所以是定值.

練習冊系列答案
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【題目】某種水果按照果徑大小可分為四類:標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取個,利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下:

等級

標準果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

個數(shù)

10

30

40

20

(1)若將頻率是為概率,從這個水果中有放回地隨機抽取個,求恰好有個水果是禮品果的概率.(結(jié)果用分數(shù)表示)

(2)用樣本估計總體,果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.

方案:不分類賣出,單價為.

方案:分類賣出,分類后的水果售價如下:

等級

標準果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

售價(元/kg)

16

18

22

24

從采購單的角度考慮,應該采用哪種方案?

(3)用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個,再從抽取的個水果中隨機抽取個,表示抽取的是精品果的數(shù)量,求的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

1)設,判斷上是否為有界函數(shù),若是,請說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請說明理由;

2)若函數(shù)上是以為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓C.

1)求橢圓C的離心率;

2)設分別為橢圓C的左右頂點,點P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點M,N.當點P運動時,以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點?試證明你的結(jié)論.

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【題目】1)設橢圓與雙曲線有相同的焦點、,是橢圓與雙曲線的公共點,且△的周長為6,求橢圓的方程;我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為盾圓;

2)如圖,已知盾圓的方程為,設盾圓上的任意一點的距離為,到直線的距離為,求證:為定值;

3)由拋物線弧)與第(1)小題橢圓弧)所合成的封閉曲線為盾圓,設過點的直線與盾圓交于、兩點,,,且),試用表示,并求的取值范圍.

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【題目】某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10萬張,電動型汽車2萬張,為了節(jié)能減排和控制總量,從2013年開始,每年電動型汽車牌照按50%增長,而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少05萬張,同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張,以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

1)記2013年為第一年,每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構(gòu)成數(shù)列,每年發(fā)放電動型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列,完成下列表格,并寫出這兩個數(shù)列的通項公式;

2)從2013年算起,累計各年發(fā)放的牌照數(shù),哪一年開始超過200萬張?











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【題目】已知是數(shù)列的前項和,對任意,都有;

1)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求此時數(shù)列的通項公式;

2)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求此時數(shù)列的通項公式;

3)設,若,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】互聯(lián)網(wǎng)+”智慧城市的重要內(nèi)容,A市在智慧城市的建設中,為方便市民使用互聯(lián)網(wǎng),在主城區(qū)覆蓋了免費WiFi為了解免費WiFiA市的使用情況,調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人):

經(jīng)常使用免費WiFi

偶爾或不用免費WiFi

合計

45歲及以下

70

30

100

45歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有90%的把握認為A市使用免費WiFi的情況與年齡有關;

2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該市45歲以上的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3.記被抽取的3人中偶爾或不用免費WiFi的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,數(shù)學期望EX)和方差DX.附:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】為了解學生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況,一名教師對某班級的所有學生進行了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表.

1)從這班學生中任選一名男生,一名女生,求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的概率?

2)若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人,設選到的男學生人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;

3)試判斷男學生完成套卷數(shù)的方差與女學生完成套卷數(shù)的方差的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).

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