Question

【題目】（1）設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

（3）由拋物線弧（）與第（1）小題橢圓弧（）所合成的封閉曲線為“盾圓”，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與“盾圓”交于、兩點(diǎn)，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），；，；.

【解析】

（1）由由的周長(zhǎng)為得,由橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)可得值,根據(jù)平方關(guān)系求得,進(jìn)而即可得到橢圓方程；

（2）設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,,分為與兩種情況表示出,再分別計(jì)算,即可求得定值；

（3）由“盾圓”的對(duì)稱性,不妨設(shè)在軸上方（或軸上）,分類討論：時(shí),在橢圓弧上；時(shí),在拋物弧上,由條件可表示出此時(shí),相應(yīng)地, 再按時(shí), 在拋物弧上,在橢圓弧上；當(dāng)時(shí),在橢圓弧上, 在拋物弧上；當(dāng)時(shí), 、在橢圓弧上,利用三角函數(shù)性質(zhì)分別求出的范圍

（1）由的周長(zhǎng)為得,橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),所以,即,則,,則橢圓的方程為

（2）證明：設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí),,,

即；

當(dāng)時(shí),,,

即；

所以為定值.

（3）顯然“盾圓”由兩部分合成,所以按在拋物弧或橢圓弧上加以分類,由“盾圓”的對(duì)稱性,不妨設(shè)在軸上方（或軸上）；

當(dāng)時(shí),,此時(shí),；

當(dāng)時(shí),在橢圓弧上,由題設(shè)知代入得,,整理得,解得或（舍去）

當(dāng)時(shí),在拋物弧上,方程或定義均可得到,于是,

綜上,或；

相應(yīng)地,,

當(dāng)時(shí), 在拋物弧上,在橢圓弧上,

；

當(dāng)時(shí),在橢圓弧上, 在拋物弧上,

;

當(dāng)時(shí), 、在橢圓弧上,

；

綜上, ，；，；

的取值范圍是