Question

【題目】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，且

（1）求雙曲線的方程

（2）設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，當(dāng)直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得為銳角？若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，證明見解析

【解析】

（1）直接根據(jù)題意計(jì)算得到得到答案.

（2）計(jì)算漸近線方程為，根據(jù)直線方程與漸近線的關(guān)系得到答案.

（3）假設(shè)存在，為銳角，即，利用韋達(dá)定理得到

，解得，不成立.

（1）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，且

則 解得 故雙曲線方程為

（2）漸近線方程為：

經(jīng)過焦點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線方程為：

直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)

則滿足或，解得：或

（3）假設(shè)存在，則為銳角，即 ，設(shè)

得到

代入化簡(jiǎn)得到： 即

這與或矛盾，假設(shè)不成立.

故不存在這樣的