【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,,,是棱上的一點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若平面,求的值;
(3)在(2)的條件下,三棱錐的體積是18,求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)見(jiàn)解析 ;(2) ;(3).
【解析】
(1)推導(dǎo)出BC⊥PD,BD⊥BC,由此能證明BC⊥平面PBD.(2)連結(jié)AC,交BD于O,連結(jié)OE,由PA∥平面BDE,得OE∥PA,由此能求出 .(3)B到平面PCD的距離d=
3,設(shè)PD=a,則 = ,由三棱錐P﹣BDE的體積是18,求出PD=a=6,設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,由VP﹣ABD=VD﹣PAB,能求出D點(diǎn)到平面PAB的距離.
(1)∵在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PD⊥平面ABCD,
∴BC⊥PD,∵AD=BD=6,AB=6,BC=AD,∴BD2+BC2=CD2,∴BD⊥BC,
∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD.
(2)連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OE,則O是AC的中點(diǎn),
∵PA∥平面BDE,∴OE∥PA,∴E是PC的中點(diǎn),∴=.
(3)B到平面PCD的距離d==3,設(shè)PD=a,則==,∵三棱錐P﹣BDE的體積是18,∴VP﹣BDE=VB﹣PDE===18,解得PD=a=6,設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,
∵PD⊥平面ABCD,AD=BD=6,AB=6,
∴PA=PB==6,
∴=18,
==18,
∵VP﹣ABD=VD﹣PAB,∴,
∴h===2.∴D點(diǎn)到平面PAB的距離為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,若,,則不等式(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美,給出定義:能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱(chēng)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,給出下列命題:
①對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè);
②函數(shù)f(x)=ln()可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
③函數(shù)y=1+sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
④函數(shù)y=2x+1可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
⑤函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形.
其中正確的命題是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,橢圓C過(guò)點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)為,,E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),直線EF的斜率為,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,斜率為.
求橢圓C的方程;
求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與直線的夾角為,求直線的方程;
(2)已知中頂點(diǎn)的平分線方程分別為和.求邊所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,且
(1)求雙曲線的方程
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為,當(dāng)直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得為銳角?若存在,請(qǐng)求出的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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