已知函數(shù)f（x）=
.
2cos(x-
π
2
)		sin2x
2cos(x+
π
6
)
.
，（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）在△ABC中，f（A）=0，|
AC
|=m，m∈[2，4]．若對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：二階矩陣,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）結(jié)合行列式的運(yùn)算性質(zhì)和三角函數(shù)的公式，得到f（x）=
3
sin（2x+
π
3
）-
3
2
．然后，結(jié)合三角函數(shù)的周期性和奇偶性的概念求解；
（2）根據(jù)任意實(shí)數(shù)t恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求解得到BC⊥AC，然后，求解即可．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=
.
2cos(x-
π
2
)		sin2x
2cos(x+
π
6
)
.

=2cos（x-
π
2
）cos（x+
π
6
）-2sin2x
=2sinxcos（x+
π
6
）-2sin2x
=
3
sinxcosx-3sin2x
=
3
2
sin2x+
3
2
cos2x-
3
2

=
3
sin（2x+
π
3
）-
3
2
．
∴f（x）=
3
sin（2x+
π
3
）-
3
2
．
∴T=
2π
2
=π，
∴f（-x）≠±f（x），
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）∵f（A）=0，
∴f（A）=
3
sin（2A+
π
3
）-
3
2
=0．
∴sin（2A+
π
3
）=
3
2
．
∵0＜A＜π，
∴
π
3
＜2A+
π
3
＜
7π
3
，
∴2A+
π
3
=
2π
3
，
∴A=
π
6
，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，
∴BC⊥AC，
∵|AB|=
4sin2x
，|AC|=m，
∴BC≤|
AB
-t
AC
|，
∴S△ABC=
1
2
BC•AC≤
8
3
3
．
∴△ABC面積的最大值
8
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了平面向量的應(yīng)用、三角恒等變換公式、二倍角公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件
y≤3
x+y≥4
x-y≤1
，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值為（　　）
A、
10
B、
34
2
C、5
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有6個(gè)房間安排4個(gè)旅游者住宿，每人可以隨意進(jìn)哪一間，而且一個(gè)房間也可以住多個(gè)人，求下列問題中各有多少種不同的住法？
（1）每人隨意選擇，則所有的入住方法；
（2）第1號(hào)房間有1人，第2號(hào)房間有3人；
（3）指定的4個(gè)房間中各有1人；
（4）恰有1個(gè)房間中有2人；
（5）恰有2個(gè)房間中各有2人．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（x-
π
6
）+cos（x-
π
6
）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值或最小值，求集合A；
（Ⅱ）將集合A中x∈（0，+∞）的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為{an}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令bn=
π
2
 
an•an+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試證當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f（n）=32n+2-8n-9能被64整除．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足：a1=6，an+1=an2+4an+2，（n∈N*）
（Ⅰ）設(shè)Cn=log2（an+2），求證：{Cn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=
1
an-2
-
1
a
2
n
+4an
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：
7
30
≤Tn＜
1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：A={x|x2-2x-3＜0}，q：B={x|x2-2mx+m2-9＜0}．
（1）若A∩B=（1，3），求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
π
4
＜α＜
3π
4
，0＜β＜
π
4
且sin（α+
π
4
）=
3
5
，cos（
π
4
+β）=
5
13
，求sin（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+
1
2
x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)φ（x）在定義域?yàn)閇m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇m，n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)φ（x）的“同域區(qū)間”，當(dāng)a=
3
2
時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否存在“同域區(qū)間”？請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求a的取值范圍．

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