Question

已知函數f（x）=

3

sin（x-

π

6

）+cos（x-

π

6

）．
（Ⅰ）當x∈A時，函數f（x）取得最大值或最小值，求集合A；
（Ⅱ）將集合A中x∈（0，+∞）的所有x的值，從小到大排成一數列，記為{a_n}，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）令b_n=

π 2

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,三角函數中的恒等變換應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式化簡f（x）=2sinx，即得結論；
（Ⅱ）歸納直接寫出通項公式即可；
（Ⅲ）利用裂項相消法求和．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2[

3

2

sin(x-

π

6

)+

1

2

cos(x-

π

6

)]…（1分）
=2sin[(x-

π

6

)+

π

6

]=2sinx…（3分）
當函數f（x）取得最值時，集合A={x|x=kπ+

π

2

，k∈Z}…（4分）
（Ⅱ）x∈（0，+∞）的所有x的值從小到大依次是

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…，

(2n-1)π

2

，…．…（6分）
即數列{a_n}的通項公式是an=

(2n-1)π

2

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 bn=

π2

an•an+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
∴Tn=2[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（11分）
=2(1-

1

2n+1

)=

4n

2n+1

…（13）

點評：本題以三角函數為載體，考查三角函數的恒等變形及歸納法求數列的通項公式和利用裂項相消法數列求和的能力，屬中檔題．