Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP的面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)F，在拋物線的第一象限內(nèi)，是否存在一點(diǎn)M，使得AM被FC平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）△ABP的面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）當(dāng)PE=2ED時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，﹣7）；（4）在拋物線上存在一點(diǎn)M，當(dāng)其坐標(biāo)為（1,8）或時(shí)，AM被FC平分．

【解析】

（1）先根據(jù)直線解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A點(diǎn)和C點(diǎn)在軸上寫(xiě)出交點(diǎn)式，最后利用待定系數(shù)法求解并化為一般式即得；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)表示的“鉛垂高”P(pán)H和點(diǎn)A及點(diǎn)B的水平距離，再根據(jù)“三角形面積=鉛垂高點(diǎn)A及點(diǎn)B的水平距離”列出二次函數(shù)關(guān)系，最后即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)PD⊥x軸表示E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)PE=2ED列出方程求解即得；

（4）先根據(jù)F點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)求出直線FC的解析式，再設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)并表示出AM的中點(diǎn)，最后將中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線FC的解析式解方程即可．

（1）將交點(diǎn)B（4，m）代入直線y=x+1得B（4，5），

由題意可設(shè)拋物線解析式y=a（x+1）（x﹣5），

把B（4，5）代入得，∴，即；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，如下圖：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

∴

∵A（﹣1，0），B（4，5）

∴=4﹣（﹣1）=5

∴

∴當(dāng)時(shí)△ABP的面積最大

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為

∴△ABP的面積最大時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

∵P為拋物線上一點(diǎn)

∴存在P點(diǎn)在直線AB上方和下方兩種情況．

∴由題意得，，

∵PE=2ED

∴，所以

解得：x1=﹣1（舍），x2=2，x3=6，

當(dāng)x=2時(shí)，y=9；當(dāng)x=6時(shí)，y=﹣7．

即當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，-7）；

（4）存在一點(diǎn)M，使得AM被FC平分，理由如下：

若AM被FC平分，則AM的中點(diǎn)在直線FC上．

∵F（0，4），C（5，0）

∴直線FC的表達(dá)式為：yx+4

設(shè)M（x，﹣x2+4x+5），A（﹣1，0）

∴AM中點(diǎn)坐標(biāo)為，

將坐標(biāo)代入解得：，

把代入拋物線解析式得

把代入拋物線解析式得

∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,8）或時(shí)，AM被FC平分．