Question

【題目】已知函數g（x）= 是奇函數，f（x）=log4（4x+1）﹣mx是偶函數．
（1）求m+n的值；
（2）設h（x）=f（x）+ x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]對任意x≥1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于g（x）為奇函數，且定義域為R，

∴g（0）=0，即 =0，∴n=﹣1，

∵f（x）=log4（4x+1）﹣mx

∴f（﹣x）=log4（4x+1）﹣（﹣m+1）x，

∵f（x）是偶函數，

∴f（﹣x）=f（x），得﹣mx=﹣（﹣m+1）x恒成立，故m= ，

綜上所述，可得m+n=﹣

（2）解：∵h（x）=f（x）+ x=log4（4x+1），

∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），

又∵g（x）=2x﹣2﹣x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，

∴當x≥1時，g（x）min=

由題意，得 ，∴

因此，實數a的取值范圍是：{a|﹣ }

【解析】（1）由g（x）為定義在R上的奇函數，得g（0）=0，解得n=﹣1；再根據偶函數滿足f（﹣x）=f（x），比較系數可得m= ，由此即可得到m+n的值．（2）由（1）得h（x）=log4（4x+1），易得h[log4（2a+1）]=log4（2a+2）．而定義在R上的增函數g（x）在x≥1時的最小值為g（1）= ，從而不等式轉化成 ＞log4（2a+2），由此再結合真數必須大于0，不難解出實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．