【題目】設(shè)橢圓C: 的離心率e= ,左頂點M到直線 =1的距離d= ,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,證明:點O到直線AB的距離為定值;
(3)在(2)的條件下,試求△AOB的面積S的最小值.
【答案】
(1)解:由已知得 ,又a2=b2+c2,
解得a=2,b=1,c= ,
∴橢圓C的方程為 .
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時,則由橢圓的對稱性知x1=x2,y1=﹣y2,
∵以AB為直線的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,∴ =0,
∴x1x2+y1y2=0,∴ ,
又點A在橢圓C上,∴ =1,
解得|x1|=|y1|= .
此時點O到直線AB的距離 .
②當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)AB的方程為y=kx+m,
聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
∴ , ,
∵以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O,∴OA⊥OB,
∴ =x1x2+y1y2=0,
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴(1+k2) ,
整理,得5m2=4(k2+1),
∴點O到直線AB的距離 = ,
綜上所述,點O到直線AB的距離為定值 .
(3)解:設(shè)直線OA的斜率為k0,
當(dāng)k0≠0時,OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=﹣ ,
聯(lián)立 ,得 ,同理,得 ,
∴△AOB的面積S= =2 ,
令1+ =t,t>1,
則S=2 =2 ,
令g(t)=﹣ + +4=﹣9( )2+ ,(t>1)
∴4<g(t) ,∴ ,
當(dāng)k0=0時,解得S=1,
∴ ,∴S的最小值為
【解析】(1)由已知得 ,又a2=b2+c2 , 由此能求出橢圓C的方程.(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),當(dāng)直線AB的斜率不存在時,x1x2+y1y2=0,點O到直線AB的距離為 .當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)AB的方程為y=kx+m,聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點O到直線AB的距離為 ,由此能證明點O到直線AB的距離為定值 .(3)設(shè)直線OA的斜率為k0 , OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=﹣ ,聯(lián)立 ,得 ,同理,得 ,由此能求出△AOB的面積S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x﹣b=0},且A∩B={2}.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)全集U=AUB,求(UA)U(UB).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱底面, , , 是棱的中點.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求平面將此三棱柱分成的兩部分的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),f(x)=log4(4x+1)﹣mx是偶函數(shù).
(1)求m+n的值;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+ x,若g(x)>h[log4(2a+1)]對任意x≥1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若全集U=R,函數(shù)y= + 的定義域為A,函數(shù)y= 的值域為B.
(1)求集合A,B;
(2)求(UA)∩(UB).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形,點F是PB的中點,點E是邊BC上的任意一點.
(1)求證:AF⊥EF;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中不表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=lgx2 , g(x)=2lg|x|
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)= ,g(x)=
D.f(x)=|x+1|,g(x)=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸是短軸的兩倍,點P( , )在橢圓上,不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點,設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2 , 且k1、k、k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,記△AOB的面積為S.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由?
(3)求△AOB面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間[﹣1,2]上單調(diào),則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[2,+∞)
B.(﹣∞,﹣1]
C.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
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