Question

已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=8x²+16x-k，g（x）=2x³+5x²+4x．其中k實(shí)數(shù)．若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），則k的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），只需在∈[-3，3]上f（x）_min≤g（x）_min即可．分別利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)求出兩個(gè)最小值，列不等式求解即可．

解答： 解：若對?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），
只需在[-3，3]上f（x）_min≤g（x）_min，即可．
f（x）=8x²+16x-m=8（x+1）²-m-8，f（x）_min=f（-1）=-m-8
g（x）=2x³+5x²+4x，g′（x）=6x²+10x+4=（x+1）（6x+4），
在x∈（-3，-1）∪（

2

3

，3]，g′（x）＞0，（-3，-1）與（

2

3

，3]是g（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
在x∈（-1，

2

3

），g′（x）＜0，（-1，

2

3

]是g（x）單調(diào)遞減區(qū)間．
所以g（x）的極小值為g（-

2

3

）=-

28

27

，
又g（-3）=-21，所以g（x）_min=-21
所以-m-8≤-21，解得m的范圍為m≥13．
故答案為：[13，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值及應(yīng)用，將問題轉(zhuǎn)化為f（x）_min≤g（x）_min是關(guān)鍵．考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化計(jì)算等能力．