Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實數(shù)a，使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系得令f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點，則-

2a+3

3

＞1，解得即可；
（2）使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立，等價于x∈[-1，1]時，f（x）_min＞0，利用導數(shù)分類討論求得f（x）_min，解不等式解得結論．

解答： 解：（1））f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1），
令f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，
使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點，則-

2a+3

3

＞1，
解得a＜-3；
（2）由題意知，x∈[-1，1]時，f（x）_min＞0
①當-

2a+3

3

≥1時，即a≤-3時f（x）在x∈[-1，1]上單調遞增，
 f（x）_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2，由此得：a≤-3；
②當則-1＜-

2a+3

3

＜1時，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-

2a+3

3

]上為增函數(shù)，
在[-

2a+3

3

，1]上為減函數(shù)，所以f（x）_min=min{f（-1），f（1）}
得

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③當-

2a+3

3

≤-1時，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上為減函數(shù)，
所以f（x）_min=f（1）=a²-a-2＞0
解得a＞2或a＜-1．
綜上所述得a＞2．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值與導數(shù)的關系，函數(shù)的最值與導數(shù)的關系及恒成立問題的等價轉化能力，分類討論思想的運用能力，屬難題．