Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M（點(diǎn)A對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1），如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度，如圖③，圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

給出下列命題：①f（

1

4

）=1；②f（

1

2

）=0；③f（x）是奇函數(shù)；④f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則所有真命題的序號(hào)是

 

．（填出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：映射

專題：閱讀型

分析：①m=

1

4

時(shí)，點(diǎn)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，求出直線AM的方程得出N的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，M位于圓與y軸的下交點(diǎn)上，直線為x=0，由此判斷命題正確；
③由函數(shù)的定義域判斷命題不正確；
④由圖3知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得出函數(shù)值的變化情況和單調(diào)性；

解答： 解：：①當(dāng)m=

1

4

時(shí)，M位于左半圓弧的中點(diǎn)上，M點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線AM方程為y=x+1，f（

1

4

）=-1．命題①錯(cuò)誤；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，M位于圓與y軸的下交點(diǎn)上，直線為x=0，
∴f（

1

2

）=0．命題②正確；
③∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．命題③錯(cuò)誤；
④由圖3知，當(dāng)m由0到1時(shí)，M由A運(yùn)動(dòng)到B，N的坐標(biāo)逐漸增大，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．命題④正確．
故正確的答案是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．