Question

如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S（3，2

3

），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（2）設(shè)∠PMN=θ，試用θ表示賽道MNP的長(zhǎng)；            
（3）當(dāng)θ為何值時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用圖象分別求得周期和A的值，進(jìn)而求得ω最后得到函數(shù)解析式．
（2）把x=4代入函數(shù)解析式求得y的值，得到M的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求得MP．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷出θ=30°時(shí)函數(shù)有最大值即折線段賽道MNP最長(zhǎng)．

解答： 解：（1）依圖象可知A=2

3

，

T

4

=3，T=12，
∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴y=2

3

sin

π

6

x，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=2

3

sin

2π

3

=3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3），
∴MP=

42+32

=5．
（2）在△MNP中，∠MNP=120°MP=5，設(shè)∠PMN=θ，則0＜θ＜60°，
∵

MP

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
∴NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin（60°-θ），
故NP+MN=

10 3

3

sinθ+

10 3

3

sin（60°-θ）=

10 3

3

（

1

2

sinθ+

3

3

cosθ）=

10 3

3

sin（θ+60°）
（3）∵0＜θ＜60°，
∴當(dāng)θ=30°時(shí)，sin（θ+60°）有最大值，即折線段MNP最長(zhǎng)，
即∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段MNP最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用．涉及到了三角函數(shù)圖象的確定及解析式，解三角形問(wèn)題，兩點(diǎn)間距離公式等，綜合性特別強(qiáng)．