Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，0），焦距為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過點C（-1，0）且交橢圓Γ于A，B兩點，試探究橢圓Γ上是否存在點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，0），焦距為2

3

，求出a，c，可求b，即可求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x+1）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合橢圓Γ上存在點P（x₀，y₀）使得四邊形OAPB為平行四邊形，求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a=2，c=

3

，…（2分）
因為a²=b²+c²，所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以橢圓Γ的方程為  

x2

4

+y2=1；…（4分）
（Ⅱ）依題意得：直線y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
假設(shè)橢圓Γ上存在點P（x₀，y₀）使得四邊形OAPB為平行四邊形，則

x1+x2=x0 y1+y2=y0

．
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8k²x+4（k²-1）=0，…（6分）
所以x1+x2=

-8k2

1+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=k(

-8k2

1+4k2

+2)=

2k

1+4k2

．…（8分）
于是

x0= -8k2 1+4k2 y0= 2k 1+4k2

即點P的坐標(biāo)為(

-8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)．    …（10分）
又點P在橢圓上，所以

( -8k2 1+4k2 )2

4

+(

2k

1+4k2

)2=1，整理得4k²+1=0，此方程無解．…（11分）
故橢圓Γ上不存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形．  …（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．