Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）有下列命題：
①y=f（x）的最大值為

2

；
②y=f（x）的一條對(duì)稱軸方程是x=

π

24

；
③y=f（x）在區(qū)間（

π

24

，

13π

24

）上單調(diào)遞減；
④將函數(shù)y=

2

cos2x的圖象向左平移

5π

24

個(gè)單位后，與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin（2x+

5π

12

），由此求得它的最大值、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸，以及它的圖象與函數(shù)y=

2

cos2x的圖象間的關(guān)系，從而得出結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

1

2

sin2x=

3 +1

2

cos2x+

3 -1

2

sin2x
=

2

（

6 + 2

4

cos2x+

6 - 2

4

sin2x）=

2

sin（2x+φ），其中，sinφ=

6 + 2

4

，cosφ=

6 - 2

4

，∴φ=

5π

12

，
即f（x）=

2

sin（2x+

5π

12

）．
顯然，函數(shù)的最大值為

2

，故①正確．
由于當(dāng)x=

π

24

時(shí)，sin（2x+

5π

12

）=sin

π

2

=1，故y=f（x）的一條對(duì)稱軸方程是x=

π

24

，故②正確．
令2kπ+

π

2

≤2x+

5π

12

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

24

≤x≤kπ+

13π

24

，k∈z，故y=f（x）在區(qū)間（

π

24

，

13π

24

）上單調(diào)遞減，故③正確．
將函數(shù)y=

2

cos2x的圖象向左平移

5π

24

個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

2

cos2（x+

5π

24

）=cos（2x-

5π

12

），顯然不和f（x）的解析式相同，故④不正確，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡(jiǎn)單的三角變換，屬于中檔題．