【題目】設(shè)橢圓,其長軸長是短軸長的倍,過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.

1)求橢圓的方程;

2)點是橢圓上橫坐標(biāo)大于的動點,點軸上,圓內(nèi)切于,試判斷點在何位置時的長度最小,并證明你的判斷.

【答案】1;(2)點的橫坐標(biāo)為時,的長度最小.見解析.

【解析】

1)根據(jù)條件列方程組,解得;

2)先設(shè),,根據(jù)點斜式得直線的方程,再根據(jù)直線與圓相切列等量關(guān)系得,類似可得,轉(zhuǎn)化為是方程的兩個根,利用韋達(dá)定理解得,根據(jù)點滿足橢圓方程,代入化簡得,最后根據(jù)范圍以及函數(shù)單調(diào)性求最值,即得結(jié)果.

(1)由已知

因為過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為,,

解得,故所求橢圓方程為.

(2)設(shè),.

不妨設(shè),則直線的方程為,即,

又圓心到直線的距離為,即

化簡得同理,

是方程的兩個根,

,則,

是橢圓上的點,∴,.

,令,則,

當(dāng)時,取到最小值,此時,即點的橫坐標(biāo)為時,的長度最小.

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【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:

①設(shè)AB為兩個定點,為非零常數(shù),,則動點P的軌跡為雙曲線;

②平面內(nèi)到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓

③若方程表示焦點在x軸上的橢圓,則

④雙曲線與橢圓有相同的焦點.

其中真命題的序號為________________(寫出所有真命題的序號).

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【題目】中國農(nóng)業(yè)銀行開始為全國農(nóng)行ATM機(jī)安裝刷臉取款系統(tǒng).某農(nóng)行營業(yè)點為調(diào)查居民對刷臉取款知識的了解情況,制作了刷臉取款知識有獎?wù){(diào)查問卷,發(fā)放給2018年度該行的所有客戶,并從參與調(diào)查且年齡(單位:歲)在[25,55]內(nèi)的客戶中隨機(jī)抽取100名給予物質(zhì)獎勵,再從中選出一名客戶參加幸運大抽獎.調(diào)查結(jié)果按年齡分成6組,制作成如下的頻數(shù)分布表和女客戶的年齡莖葉圖,其中abc=2∶4∶5.

年齡/

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

[45,50)

[50,55]

頻數(shù)/

5

a

b

c

15

25

女客戶的年齡莖葉圖

幸運大抽獎方案如下:客戶最多有兩次抽獎機(jī)會,每次抽獎的中獎率均為,第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束.若中獎,則通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎.規(guī)定:拋出的硬幣,若反面朝上,則客戶獲得5000元獎金,不進(jìn)行第二次抽獎;若正面朝上,客戶需進(jìn)行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,如果中獎,則獲得獎金10000元,如果未中獎,則所獲得的獎金為0元.

(1)求a,b,c的值,若分別從男、女客戶中隨機(jī)選取1人,求這2人的年齡均在[40,45)內(nèi)的概率;

(2)若參加幸運大抽獎的客戶所獲獎金(單位:元)用X表示,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

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【題目】平行四邊形中,,,點在邊上,則的最大值為( )

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(2)若2cosC+)=c2,求角C

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(1)求證:;

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