Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）1；（2），證明見解析.

【解析】

（1）先求的定義域，然后對求導(dǎo)，令尋找極值點(diǎn)，從而求出極值與最值；

（2）構(gòu)造函數(shù)，又，則只需恒成立，再證在處取到最小值即可；（3）

有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的正根，由此可得的取值范圍，，由根與系數(shù)可知及范圍為，代入上式得，利用導(dǎo)函數(shù)求的最小值即可.

（1），

，

令G′(x)>0,解得x>1,此時(shí)函數(shù)G(x)單調(diào)遞增，

令G′(x)<0,解得0<x<1,此時(shí)函數(shù)G(x)單調(diào)遞減，

又G′(1)=0,∴x=1是函數(shù)G(x)的極小值點(diǎn),也是最小值，且G(1)=0.

當(dāng)時(shí)，的最小值為0.

（2）令，則.

所以即恒成立的必要條件是，

又，由得：.

當(dāng)時(shí)，，知，

故，即恒成立.

（3）由，得.

有兩個(gè)極值點(diǎn)、等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的正根，即：

，解得.

由，得，其中.

所以.

設(shè)，得，

所以，即.