【題目】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，證明A1、C1、F、E四點(diǎn)共面，并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小．

【答案】

【解析】試題分析：由中位線的性質(zhì)和長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得，平行的兩直線必定共面，所以可以證明， ， 四點(diǎn)共面；建立空間直角坐標(biāo)系，寫出上兩相交向量及的坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與平面內(nèi)任意向量的內(nèi)積為求出法向量，從而可以求出法向量與的余弦值，該余弦值的絕對(duì)值即為與平面所成角的正弦值。

解析：連接AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC．由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知AC∥A1C1，

所以EF∥A1C1，

所以A1、C1、F、E四點(diǎn)共面．

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得

，

設(shè)平面A1C1EF的法向量為

則，所以，即，

z=1，得x=1，y=1，所以，

所以=，

所以直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知四棱錐 中，

.

（1）證明：頂點(diǎn)在底面的射影為邊的中點(diǎn)；

（2）點(diǎn)在上，且，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【2018河南安陽(yáng)市高三一模】如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線之間的陰影部分即為，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）動(dòng)直線穿過(guò)區(qū)域，分別交直線于兩點(diǎn)，若直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證： 的面積恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}(n∈N*)，首項(xiàng)a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p＞0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

(1)求；

(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下．根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．

壽命（天）

頻數(shù)

頻率

合計(jì)

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出， 的值．

（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)，求個(gè)燈泡中恰有一個(gè)是優(yōu)等品的概率．

（Ⅲ）某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購(gòu)買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2017·成都一診)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x＝5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)．

(1)若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；

(2)過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

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