Question

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數(shù)圖象恒過的定點坐標；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)因為要使參數(shù)對函數(shù)值不發(fā)生影響，所以必須保證，據(jù)此可得函數(shù)的圖象恒過點.

(Ⅱ)原問題等價于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，分類討論有：

①若時， 不能恒成立.

②若時， 在時為極小值點， ，滿足題意時只需.討論可得要使函數(shù)成立，只有在時成立.

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論有，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得一定有2個零點，分別為的一個極大值點和一個極小值點，則函數(shù)在區(qū)間上存在一個極值點，所以最小極值點在內(nèi).據(jù)此整理計算可得.

試題解析：

（Ⅰ）因為要使參數(shù)對函數(shù)值不發(fā)生影響，所以必須保證，

此時，所以函數(shù)的圖象恒過點.

（Ⅱ）依題意得： 恒成立，∴恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，

則恒過， ，

①若時， ，∴在上遞增，

∴不能恒成立.

②若時， ，∴.

∵時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

時， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴在時為極小值點， ，

∴要使恒成立，只需.

設(shè)，則函數(shù)恒過，

，

， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴在取得極大值0，

∴要使函數(shù)成立，只有在時成立.

（Ⅲ），設(shè)

，令，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

在處取得極小值

可得一定有2個零點，分別為的一個極大值點和一個極小值點

設(shè)為函數(shù)的極小值點，則，∴， ，

因為，因為，

所以在區(qū)間上存在一個極值點，所以最小極值點在內(nèi).

∵函數(shù)的極小值點的橫坐標，

∴函數(shù)的極小值，∴.